Question

【題目】已知：，，，設，，，……，

（1）計算___________，____________，____________

（2）寫出，，，四者之間的關系，并證明你的結論．

（3）根據（2）的結論，直接寫出的值是_____________

Answer 1

【答案】（1）5，4，13；（2），見解析；（3）38

【解析】

（1）s2=a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)=1+4=5，由(a+b+c)3=﹣2(a3+b3+c3)+6abc+3(a2+b2+c2)，可求s3，由變形可求s4；

（2）sn=sn﹣1(a+b+c)﹣(an﹣1b+an﹣1c+abn﹣1+cbn﹣1+acn﹣1+bcn﹣1)=sn﹣1(a+b+c)﹣[sn﹣2(ab+ac+bc)﹣abcn﹣2﹣abn﹣2c﹣an﹣2bc]=sn﹣1(a+b+c)﹣sn﹣2(ab+ac+bc)+sn﹣3abc，將已知條件代入即可；

（3）利用所求關系式可得：s5=s4+2s3﹣s2=13+8﹣5=16，則s6=s5+2s4﹣s3=16+26﹣4=﹣38．

（1）s2=a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)=1+4=5，

(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc=a3+b3+c3+3a2(b+c)+3b2(a+c)+3c2(a+b)+6abc．

∵a+b+c=1，abc=﹣1，

∴(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2(1-a)+3b2(1-b)+3c2(1-c)+6abc

∴(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2-3a3+3b2-3b3+3c21-3c3+6abc

∴(a+b+c)3=﹣2(a3+b3+c3)-6+3(a2+b2+c2)，

∴s3=a3+b3+c3=4．

∵ab+bc+ac=-2，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴

∴

∴s4=a4+b4+c4=13．

故答案為：5，4，13；

（2）關系為sn=sn﹣1﹣2sn﹣2﹣sn﹣3；理由：

sn=sn﹣1(a+b+c)﹣(an﹣1b+an﹣1c+abn﹣1+cbn﹣1+acn﹣1+bcn﹣1)=sn﹣1(a+b+c)﹣[sn﹣2(ab+ac+bc)﹣abcn﹣2﹣abn﹣2c﹣an﹣2bc]=sn﹣1(a+b+c)﹣sn﹣2(ab+ac+bc)+sn﹣3abc．

∵a+b+c=1，ab+bc+ca=﹣2，abc=﹣1，

∴sn=sn﹣1+2sn﹣2﹣sn﹣3；

（3）∵s5=s4+2s3﹣s2=13+8﹣5=16，

∴s6=s5+2s4﹣s3=16+26﹣4=﹣38，

∴a6+b6+c6的為38．

故答案為：38．