Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，點O在AC上，以OA為半徑的⊙O交AB于點D，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；

（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求線段AD和DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4.75．

【解析】試題分析：（1）連接OD，通過線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質證明∠EDB＋∠ODA＝90°，進而得出OD⊥DE，根據切線的判定即可得出結論；

（2）連接OE，作OH⊥AD于H．則AH＝DH，由△AOH∽△ABC，可得，推出AH＝，AD＝，設DE＝BE＝x，CE＝8－x，根據OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2，列出方程即可解決問題；

試題解析：

（1）證明：連接OD，

∵EF垂直平分BD，

∴EB＝ED，

∴∠B＝∠EDB，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠A，

∵∠C＝90°，

∴∠A＋∠B＝90°，

∴∠EDB＋∠ODA＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接OE，作OH⊥AD于H．則AH＝DH，

∵△AOH∽△ABC，

∴，

∴，

∴AH＝，AD＝，設DE＝BE＝x，CE＝8﹣x，

∵OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2 ，

∴42＋（8﹣x）2＝22＋x2 ，

解得x＝4.75，

∴DE＝4.75．