Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，，是中點，在延長線上，連接相交于點.

（1）若，求平行四邊形的面積；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）18；（2）見解析

【解析】

（1）過點A作AH⊥BC于H，由AC=BC，∠ABC=75°，得出∠ACB=30°，則AH=AC=BC=3，S平行四邊形ABCD=2S△ABC=2×BCAH，即可得出結果；

（2）過點A作AN∥CE，交BG于N，則∠ECA=∠CAN，由E是AB中點得出EF是△ABN的中位線，則EF=AN，證明∠GBC=∠ECA，∠GBC=∠G，∠ACB=∠CAG得出∠ECB=∠ECA=∠CAN=∠GAN，推出∠GAN=∠G，則AN=GN，由平行線的性質得出==1，得出BF=FN，即可得出結論．

（1）解：作，垂足為，則

∵，

∴ ，

∴，

∴；

（2）過點A作AN∥CE，交BG于N，如圖2所示：

則∠ECA=∠CAN，
∵E是AB中點，
∴EF是△ABN的中位線，
∴EF=AN，
∵AC=BC，E是AB中點，
∴∠ECB=∠ECA，
∵∠GBC=∠ECB，
∴∠GBC=∠ECA，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD，
∴∠GBC=∠G，∠ACB=∠CAG，
∴∠ECB=∠ECA=∠CAN=∠GAN，
∴∠GAN=∠G，
∴AN=GN，
∵EF∥AN，

，

∴BF=FN
∴GF=GN+FN=AN+BF，
∴GF=BF+2EF．