Question

【題目】如圖，直線和反比例函數的圖象都經過點，點在反比例函數的圖象上，連接．

（1）求直線和反比例函數的解析式；

（2）直線經過點嗎？請說明理由；

（3）當直線與反比例數圖象的交點在兩點之間.且將分成的兩個三角形面積之比為時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線經過點，理由見解析；（3）的值為或．

【解析】

（1）依據直線l1：y=-2x+b和反比例數的圖象都經過點P（2，1），可得b=5，m=2，進而得出直線l1和反比例函數的表達式；
（2）先根據反比例函數解析式求得點Q的坐標為，依據當時，y=-2×+5=4，可得直線l1經過點Q；
（3）根據OM將分成的兩個三角形面積之比為，分以下兩種情況：①△OMQ的面積:△OMP的面積=1:2，此時有QM:PM=1:2；②OMQ的面積:△OMP的面積=2:1，此時有QM:PM=2:1，再過M，Q分別作x軸，y軸的垂線，設點M的坐標為(a，b)，根據平行線分線段成比例列方程求解得出點M的坐標，從而求出k的值．

解：（1）∵直線和反比例函數的圖象都經過點，

．

∴直線l1的解析式為y=-2x+5，反比例函數大家解析式為；

（2）直線經過點，理由如下.點在反比例函數的圖象上，

．

點的坐標為．

當時，．

直線經過點；

（3）的值為或．理由如下：

OM將分成的兩個三角形面積之比為，分以下兩種情況：

①△OMQ的面積:△OMP的面積=1:2，此時有QM:PM=1:2，

如圖，過點M作ME⊥x軸交PC于點E，MF⊥y軸于點F；過點Q作QA⊥x軸交PC于點A，作QB⊥y軸于點B，交FM于點G，設點M的坐標為(a，b)，

圖①

∵點P的坐標為（2，1），點Q的坐標為（，4），

∴AE=a-，PE=2-a，

∵ME∥BC,QM:PM=1:2，

∴AE:PE=1:2，

∴2-a=2(a-)，解得a=1，

同理根據FM∥AP，根據QG:AG=QM:PM=1:2，

可得（4-b）:(b-1)=1:2,解得b=3．

所以點M的坐標為（1，3），代入y=kx可得k=3；

②OMQ的面積:△OMP的面積=2:1，此時有QM:PM=2:1，如圖②，

圖②

同理可得點M的坐標為（，2），代入y=kx可得k=.

故k的值為3或．