Question

【題目】如圖，已知△ABC，直線PQ垂直平分AC，與邊AB交于點E，連接CE，過點C作CF∥BA交PQ于點F，連接AF．

（1）求證：△AED≌△CFD；

（2）求證：四邊形AECF是菱形．

（3）若ED＝6，AE＝10，則菱形AECF的面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）96

【解析】

（1）由PQ為線段AC的垂直平分線得到AE＝CE，AD＝CD，然后根據CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用ASA證得兩三角形全等即可；

（2）根據全等得到AE＝CF，然后根據EF為線段AC的垂直平分線，得到EC＝EA，FC＝FA，從而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用四邊相等的四邊形是菱形判定四邊形AECF為菱形；

（3）由菱形的性質和勾股定理求出AD，得出AC的長，由菱形的面積公式即可得出結果．

（1）證明：∵PQ為線段AC的垂直平分線，

∴AE＝CE，AD＝CD，

∵CF∥AB，

∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，

在△AED與△CFD中，

∴△AED≌△CFD（AAS）；

（2）證明：∵△AED≌△CFD，

∴AE＝CF，

∵EF為線段AC的垂直平分線，

∴EC＝EA，FC＝FA，

∴EC＝EA＝FC＝FA，

∴四邊形AECF為菱形；

（3）解：∵四邊形AECF是菱形，

∴AC⊥EF，

∵ED＝6，AE＝10，

∴EF＝2ED＝12，AD＝＝8．

∴AC＝2AD＝16，

∴菱形AECF的面積＝ACEF＝×16×12＝96．