Question

【題目】在ABCD中，點B關于AD的對稱點為B′，連接AB′，CB′，CB′交AD于F點．

（1）如圖1，∠ABC=90°，求證：F為CB′的中點；

（2）小宇通過觀察、實驗、提出猜想：如圖2，在點B繞點A旋轉的過程中，點F始終為CB′的中點．小宇把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：過點B′作B′G∥CD交AD于G點，只需證三角形全等；

想法2：連接BB′交AD于H點，只需證H為BB′的中點；

想法3：連接BB′，BF，只需證∠B′BC=90°．

…

請你參考上面的想法，證明F為CB′的中點．（一種方法即可）

（3）如圖3，當∠ABC=135°時，AB′，CD的延長線相交于點E，求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）證明：根據已知條件得到ABCD為矩形，AB=CD，根據矩形的性質得到∠D=∠BAD=90°，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）方法1：如圖2，過點B′作B′G∥CD交AD于點G，由軸對稱的性質得到∠1=∠2，AB=AB′，根據平行線的性質得到∠2=∠3，∠1=∠3，根據平行線的性質得到∠4=∠D，根據全等三角形的性質即可得到結論；方法2：連接BB′交直線AD于H點，根據線段垂直平分線的性質得到B′H=HB，由平行線分線段成比例定理得到結論；方法3：連接BB′，BF，根據軸對稱的性質得到AD是線段B′B的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質得到B′F=FB，得到∠1=∠2，由平行線的性質得到∠B′BC=90°，根據余角的性質得到∠3=∠4，于是得到結論；
（3）取B′E的中點G，連結GF，由（2）得，F為CB′的中點，根據平行線的性質得到∠BAD=180°-∠ABC=45°，由對稱性的性質得到∠EAD=∠BAD=45°，根據平行線的性質得到∠GFA=∠FAB=45°，根據三角函數的定義即可得到結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，

∴□ABCD為矩形，AB=CD，

∴∠D=∠BAD=90°，

∵B，B′關于AD對稱，

∴∠B′AD=∠BAD=90°，AB=AB′，

∴∠B′AD=∠D，

∵∠AFB′=∠CFD，

在△AFB′與△CFD中，，

∴△AFB′≌△CFD（AAS），

∴FB′=FC，

∴F是CB′的中點；

（2）證明：

方法1：如圖2，過點B′作B′G∥CD交AD于點G，

∵B，B′關于AD對稱，

∴∠1=∠2，AB=AB′，

∵B′G∥CD，AB∥CD，

∴B′G∥AB．

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴B′A=B′G，

∵AB=CD，AB=AB′，

∴B′G=CD，

∵B′G∥CD，

∴∠4=∠D，

∵∠B′FG=∠CFD，

在△B′FG與△CFD中，

∴△B′FG≌△CFD（AAS），

∴FB′=FC，

∴F是CB′的中點；

方法2：連接BB′交直線AD于H點，

∵B，B′關于AD對稱，

∴AD是線段B′B的垂直平分線，

∴B′H=HB，

∵AD∥BC，

∴=1，

∴FB′=FC．

∴F是CB′的中點；

方法3：連接BB′，BF，

∵B，B′關于AD對稱，

∴AD是線段B′B的垂直平分線，

∴B′F=FB，

∴∠1=∠2，

∵AD∥BC，

∴B′B⊥BC，

∴∠B′BC=90°，

∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∴FB=FC，

∴B′F=FB=FC，

∴F是CB′的中點；

（3）解：取B′E的中點G，連結GF，

∵由（2）得，F為CB′的中點，

∴FG∥CE，FG=CE，

∵∠ABC=135°，□ABCD中，AD∥BC，

∴∠BAD=180°﹣∠ABC=45°，

∴由對稱性，∠EAD=∠BAD=45°，

∵FG∥CE，AB∥CD，

∴FG∥AB，

∴∠GFA=∠FAB=45°，

∴∠FGA=90°，GA=GF，

∴FG=sin∠EADAF=AF，

∴由①，②可得．