Question

【題目】如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點，∠BAC=∠CAD，P是線段CD延長線上一點，且∠PAD=∠ABD．

（1）請判斷△BCD的形狀（不要求證明）；
（2）求證：PA是⊙O的切線；
（3）求證：AP2﹣DP2=DPBC．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠BAC=∠CAD，

∴ ，

∴∠BDC=∠CBD，

∴△BCD是等腰三角形

（2）

證明：連接OA、OD，

則∠AOD=180°﹣2∠OAD，

∵∠AOD=2∠ABD=2∠PAD，

∴∠PAD=90°﹣∠OAD，

∴∠PAD+∠OAD=90°，

∴OA⊥AP，

∴PA是⊙O的切線．

（3）

證明：∵PA是⊙O的切線，

∴AP2=PD×PC，

∴AP2﹣DP2=PD×PC﹣DP2=DP（PC﹣DP）=DP×CD，

又∵BC=CD，

∴AP2﹣DP2=DPBC．

【解析】（1）由圓周角定理可得∠BDC=∠BAC，再由∠BAC=∠CAD，可判斷△BCD的形狀；（2）連接OA、OD，則可得∠AOD=180°﹣2∠OAD，再由∠AOD=2∠ABD=2∠PAD，可得∠PAD=90°﹣∠OAD，從而可得OA⊥AP，判斷出結論．（3）應用切割線定理可得AP2=PD×PC，然后提取公因式DP后，可得出等式．