Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∠BAC，∠ACB的平分線相交于點E，過點E作EF∥BC交AC于點F，則EF的長為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：延長FE交AB于點D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，由EF∥BC可證四邊形BDEG是矩形，由角平分線可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，從而知四邊形BDEG是正方形，再證△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH、CG=CH，設BD=BG=x，則AD=AH=3-x、CG=CH=4-x，由AC=5可得x=1，即BD=DE=1、AD=3，再證△ADF∽△ABC可得DF=，據此得出EF=DF-DE=．

詳解：如圖，延長FE交AB于點D，作EG⊥BC于點G，作EH⊥AC于點H，

∵EF∥BC、∠ABC=90°，

∴FD⊥AB，

∵EG⊥BC，

∴四邊形BDEG是矩形，

∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，

∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，

∴四邊形BDEG是正方形，

在△DAE和△HAE中，

∵,

∴△DAE≌△HAE（SAS），

∴AD=AH，

同理△CGE≌△CHE，

∴CG=CH，

設BD=BG=x，則AD=AH=6-x、CG=CH=8-x，

∵AC=，

∴6-x+8-x=10，

解得：x=2，

∴BD=DE=2，AD=4，

∵DF∥BC，

∴△ADF∽△ABC，

∴，即，

解得：DF=，

則EF=DF-DE=-1=，

故選D．