Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=CD=4，BC=5，∠B的平分線交DC于點E，交AD的延長線于點F．
（1）如圖（1），若∠C的平分線交BE于點G，寫出圖中所有的相似三角形（不必證明）；
（2）在（1）的條件下求BG的長；
（3）若點P為BE上動點，以點P為圓心，BP為半徑的⊙P與線段BC交于點Q（如圖（2）），請直接寫出當BP取什么范圍內值時，①點A在⊙P內；②點A在⊙P內而點E在⊙P外．

Answer 1

分析：（1）利用平行線的性質和角平分線定義找到相等的角，進一步根據兩角對應相等證明三角形相似；
（2）根據平行線的性質和角平分線定義，得∠ABE=∠AFB，則AB=AF=4，則DF=1；根據平行線分線段成比例定理求得DE和CE的長；根據等腰梯形的性質和角平分線定義，得BG=CG；設BG=CG=x，根據△FDE∽△CGE，求得BG的長；
（3）根據點和圓的位置關系與數量之間的聯系進行分析．

解答：解：（1）△ABF∽△GBC，△FDE∽△CGE∽△BCE．

（2）∵BE平分∠B，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AFB，
∴AB=AF．
∴AF=4，DF=1．
∵AD∥BC，
∴DF：BC=DE：EC，
∴DE=

2

3

，CE=

10

3

．
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠BCD=∠ABC．
∵CG平分∠BCD，BE平分∠ABC，
∴∠CBG=∠BCG，
∴BG=CG．
設BG=CG=x，則由△FDE∽△CGE，得
DF：CG=DE：GE，
∴GE=

2

3

x．
又由△CGE∽△BCE，得
EC²=EG•EB，
即(

10

3

)2=

2

3

x•（x+

2

3

x），
∴x=

10

，
即BG=

10

．

（3）①連接AP，當BP=AP時，點A在圓P上，此時△ABP∽△ABF，求得BP=

4

5

10

，
即BP＞AP時，點A在⊙P內．
∴當

4

5

10

＜BP≤

10

時，點A在⊙P內．
②根據①求得BE=

5

3

10

，
∴BP＜

1

2

BE，即BP＜

5

6

10

時，點A在⊙P內而點E在⊙P外
∴當

4

5

10

＜BP＜

5

6

10

時，點A在⊙P內而點E在⊙P外．

點評：此題綜合考查了相似三角形的判定和性質以及點和圓的位置關系與數量之間的聯系．