Question

【題目】Rt△ABC在直角坐標系內的位置如圖所示，反比例函數y＝在第一象限內的圖象與BC邊交于點D（4，m），與AB邊交于點E（2，n），△BDE的面積為2．

（1）求m與n的數量關系；

（2）當時，求反比例函數的解析式和直線AB的解析式；

（3）設P是線段AB邊上的點，在（2）的條件下，是否存在點P，以B、C、P為頂點的三角形與△EDB相似？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）n＝2m；（2）y＝，y＝x+1．（3）點P的坐標為（1，）；（，）．

【解析】

（1）將D（4，m）、E（2，n）代入反比例函數y=解析式，進而得出n，m的關系；

（2）利用△BDE的面積為2，得出m的值，進而得出D，E，B的坐標，利用待定系數法求出一次函數與反比例函數關系式即可；

（3）利用△AEO與△EFP 相似存在兩種情況，分別利用圖形分析得出即可．

（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函數y＝的圖象上，

∴4m＝k，2n＝k，

整理得：n＝2m；

（2）如圖1，過點E作EH⊥BC，垂足為H．

在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝，EH＝2，所以BH＝1．

因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．

已知△BDE的面積為2，

∴BDEH＝（m+1）×2＝2，

所以解得m＝1．

因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．

因為點D（4，1）在反比例函數y＝的圖象上，

所以k＝4．

因此反比例函數的解析式為：y＝．

設直線AB的解析式為y＝kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），

得，解得：，

因此直線AB的函數解析式為：y＝x+1．

（3）如圖2，作EH⊥BC于H，PF⊥BC于F，

當△BED∽△BPC時，

，

∴，

∵BF＝1，

∴BH＝，

∴CH＝，可得＝x+1，x＝1，

點P的坐標為（1，）；

如圖3，當△BED∽△BCP時，，

∵EF＝2，BF＝1，由勾股定理，BE＝，

∴，，

∴，BF＝1，BH＝，

∴CH＝，可得＝x+1，x＝，

點P的坐標為（，）

點P的坐標為（1，）；（，）．