Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，點E為對角線AC上一點，連接DE，以DE為邊，作矩形DEFG，點F在邊BC上；

（1）觀察猜想：如圖1，當a=b時，=______，∠ACG=______；

（2）類比探究：如圖2，當a≠b時，求的值（用含a、b的式子表示）及∠ACG的度數；

（3）拓展應用：如圖3，當a=6，b=8，且DF⊥AC，垂足為H，求CG的長；

Answer 1

【答案】（1）1，90°；（2）∠ACG =90°，；（3）CG=.

【解析】

（1）利用SAS可證，由全等三角形的性質知，所以，結合可得；

（2）方法一：過點E作EM⊥BC,EN⊥DC,垂足分別為M和N，連接EG,FD交于點O,連接OC，利用矩形的性質及三角形內角和定理可得∠ACG =90°，可證△DAE∽△DCG，由相似三角形的對應線段成比例可得的值；方法二：結合垂直與矩形的性質由兩組對應角分別相等的兩個三角形相似可得△CEN∽△CAD，△END∽△EMF，由相似三角形的性質可得，，由兩組對應線段成比例及其夾角相等的兩個三角形相似可得△ADE∽△CDG，根據其性質可得結論；

（3）由勾股定理得AC長，由相似三角形的判定可得△ CDH∽△CAD，△DEF∽△ADC，由相似三角形的性質可得CH的長及∠EDH=∠CAD，利用AAS得 △DHE≌△DHC，根據全等的性質可得EH的長，進一步可知AE長，結合即知CG的值.

解：（1）根據題意，易知矩形ABCD與矩形DEFG為正方形

（2）方法一：連接EG,FD交于點O,連接OC.

∵四邊形EDGF和ABCD是矩形

∴∠ADC=∠EDG=90°

即∠ADE+∠EDC=∠CDG+∠EDC

∴∠ADE =∠CDG

∵∠ BCD=90°OF=OD

∴OC=img src="http://thumb.zyjl.cn/Upload/2020/11/27/12/c71d404d/SYS202011271221588355837411_DA/SYS202011271221588355837411_DA.021.png" width="41" height="41" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />

在矩形DEFG中，EG=DF ∴ OC=

∵OE=OG ∴OE=OC=OG

∴∠OEC=∠OCE ∠OCF=∠OFC

又∵∠OEC+∠ECG+∠EGC=180°

∴2∠OCE+2∠OCG =180°

∴∠OCE+∠OCG =90°即∠ACG =90°

∴∠ECD+∠DCG =90°

在Rt△ADC中，∠ECD+∠DAC =90°∴∠DAE=∠DCG

∴△DAE∽△DCG

∴

方法二：過點E作EM⊥BC,EN⊥DC,垂足分別為M和N.

∵∠EMC=∠MCN=∠ENC=90°

∴四邊形EMCN是矩形

∴EM=NC,∠MEN=90°.

∵∠ ENC =∠ADC=90°∴EN∥AD

∴△CEN∽△CAD

∴即

∵∠MEN=90°∠FED=90°

∴∠MEF=∠NED

又∵∠END =∠EMF =90°

∴△END∽△EMF

∴

又∵EF=DG∴

∵∠ADC=∠EDG=90°

∴△ADE∽△CDG

∴ , ∠DAE=∠DCG

∵在Rt△ADC中∠DAC+∠ACD=90°

∴∠ACG=∠DCG+∠ACD=90°

(3) ∵AD=8,DC=6 ∴AC==10

∵DF⊥AC∴，∠CDH +∠ACD=90°

∵∠DAC+∠ACD=90°

∴∠CDH=∠DAC

∴△ CDH∽△CAD

∴CD2=CH·CA ,∠CDH=∠CAD

∵CD=6,AC=10

∴CH=

∵ 由（2）知 ∠DEF =∠ADC =90°

∴△DEF∽△ADC

∴∠EDH=∠CAD

∴∠CDH=∠EDH

∵∠DHE=∠DHC=90°DH=DH

∴△DHE≌△DHC

∴EH=CH=

∴AE=AC-EH-HC=

∵∴CG=