Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，過點B作直線EF∥AC，又知∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝cm．

（1）請探究EF與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）求⊙O的周長．

Answer 1

【答案】（1）EF與⊙O相切．理由見解析；（2）⊙O的周長為2πcm．

【解析】

（1）延長BO交AC于H，如圖，先證明△ABC為等邊三角形，利用點O為△ABC的外心得到BH⊥AC，由于AC∥EF，所以BH⊥EF，于是根據切線的判定定理即可得到EF為⊙O的切線；

（2）連結OA，如圖，根據等邊三角形的性質得∠OAH＝30°，AH＝CH＝AC＝，再在Rt△AOH中，利用三角函數和計算出OA＝1，然后根據圓的周長公式計算．

（1）EF與⊙O相切．理由如下：

延長BO交AC于H，如圖，

∵∠BAC＝∠BDC＝60°，

而∠ACB＝60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∵點O為△ABC的外心，

∴BH⊥AC，

∵AC∥EF，

∴BH⊥EF，

∴EF為⊙O的切線；

（2）連結OA，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，

∴OA平分∠ABC，

∴∠OAH＝30°，

∵OH⊥AC，

∴AH＝CH＝AC＝，

在Rt△AOH中，∵cos∠OAH＝，

∴OA＝＝1，

∴⊙O的周長＝2π×1＝2π（cm）．