Question

【題目】如圖，直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，交⊙O于點B，點C是⊙O上一點，連接CB并延長交直線l于點D，使AC=AD．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若BD=2，OA=4，求線段BC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接OC，如圖，根據等腰三角形的性質，由OB=OC，AC=AD得到∠OBC=∠OCB，∠ACD=∠ADC，再由OA⊥l得∠ADC+∠ABD=90°，加上∠ABD=∠OBC，于是有∠OCB+∠ACD=90°，即∠ACO=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）如圖1，作直徑BE，連接CE，設 O半徑為r，則AB=OA-OB=4-r，根據勾股定理得AD2=BD2-AB2=12-（4-r）2，AC2=AO2-OC2=16-r2，由于AC=AD，則12-（4-r）2=16-r2，解得r=，再證明Rt△ABD∽Rt△CBE，然后利用相似比可計算出BC．

（1）證明：連接OC，如圖，

∵OB=OC，AC=AD

∴∠OBC=∠OCB，∠ACD=∠ADC，

∵OA⊥l，

∴∠ADC+∠ABD=90°，

而∠ABD=∠OBC，

∴∠OCB+∠ACD=90°，

∴∠ACO=90°

∴OC⊥AC，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：如圖1，作直徑BE，連接CE，

設⊙O半徑為r，則AB=OA﹣OB=4﹣r，

在Rt△ABD中，∵AD2=BD2﹣AB2=12﹣（4﹣r）2，

在Rt△AOC中，∵AC2=AO2﹣OC2=16﹣r2，

而AC=AD，

∴12﹣（4﹣r）2=16﹣r2，解得r=，

∵BE為⊙O直徑，

∴∠BCE=90°，

又∵∠ABD=∠EBC，

∴Rt△ABD∽Rt△CBE，

∴，即，

∴BC=．