Question

【題目】已知在中，，，點為射線上一點（與點不重合），過點作于點，且（點與點在射線同側），連接，．

（1）如圖1，當點在線段上時，請直接寫出的度數．

（2）當點在線段的延長線上時，依題意在圖2中補全圖形并判斷（1）中結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（3）在（1）的條件下，與相交于點，若，直接寫出的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）補全圖形，如圖所示，見解析；結論成立．證明見解析；（3）的最大值為1．

【解析】

（1）先判斷出，進而得出，即可判斷出是等腰直角三角形；

（2）直接根據題意畫出圖形，同（1）的方法即可得出結論；

（3）先判斷出PC最大，即可得出AP最小，利用點到直線的距離最小，得出時，AP最小，最后利用等腰直角三角形的性質即可得出結論.

（1）如圖1，

連接，

∵在中，，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

又∵，

∴．

∴．

∴．

∴是等腰直角三角形．

∴．

（2）補全圖形，如圖2所示，

結論成立．

證明：

如圖，連接，

∵在中，，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

又∵，

∴．

∴．

∴．

∴是等腰直角三角形．

∴．

（3）由（1）知，是等腰直角三角形，

∵，

∴，

當最小時，最大，

即：時，最小，

∵，

∴，

在中，，

∴．

即：的最大值為1．