Question

【題目】綜合與實踐

問題背景：

我們知道，三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，如何證明三角形中位線定理呢?

已知：如圖1，在中，分別是的中點．

求證：

問題中既要證明兩條線段所在的直線平行，又要證明其中一條線段的長等于另一線段長的一半．所以可以用“倍長法”將延長一倍：延長到，使得，連接這樣只需證明，且．由于是的中點，容易證明四邊形、四邊形是平行四邊形，證明．．．

問題解決：

上述材料中“倍長法”體現的數學思想主要是_____． (填入選項前的字母代號即可)

A．數形結合思想 B．轉化思想 C．分類討論思想 D．方程思想

證明四邊形是平行四邊形的依據是

反思交流：

“智慧小組”在證明中位線定理時，在圖1的基礎上追加了如上輔助線作法：如圖3，分別過點作的垂線，垂足分別為，．．

請你根據“智慧小組”添加的輔助線，證明三角形的中位線定理．

方法遷移：

如圖4、四邊形和都是正方形，是的中點．求證：

Answer 1

【答案】（1）B；（2）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（3）詳見解析；（4）詳見解析

【解析】

（1）根據解題方法知，將證明“”的問題轉化為矩形的性質的問題；

（2）由平行四邊形的判定定理填空；

（3）利用“”證明，根據全等三角形對應邊相等可得，，同理，，則．然后判斷出四邊形是矩形，根據矩形的性質即可得到答案；

（4）如圖4，延長到點，使得，連接、．易證，四邊形是平行四邊形，結合該平行四邊形和圖中正方形的性質，證得，故，所以．

（1）根據根據上述材料中“倍長法”體現的數學思想主要是轉化思想．

故選：；

（2）證明四邊形是平行四邊形的依據是：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

故答案為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

（3）證明：如圖3，

在和中，

，

∴，

∴，，

同理可得，，

∴，

又∵，

∴，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴．

如圖4，延長到點，使得連接，，

是的中點，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∴，

四邊形和都是正方形，

∴

∴

∴

在和中

，

∴，

∴，