Question

【題目】如圖，已知直線l的解析式為y=x﹣1，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，0），B（2，0），D（1，）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及A點(diǎn)的坐標(biāo)，并在圖示坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線的大致圖象；

（2）已知點(diǎn) P（x，y）為拋物線在第二象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng)PE與直線l交于點(diǎn)F，請(qǐng)你將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)，并求出S的最大值及S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）將（2）中S最大時(shí)的點(diǎn)P與點(diǎn)B相連，求證：直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在PB所在直線上．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2，（﹣4，0）．見(jiàn)解析；（2）S的最大值是12，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，再根據(jù)A（m，0）在拋物線上，得到0=﹣m2﹣m+2，解方程即可得到m的值，從而得到A點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)四邊形PAFB的面積S=ABPF，可得S=﹣（x+2）2+12，根據(jù)函數(shù)的最值可得S的最大值是12，進(jìn)一步得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

（3）根據(jù)待定系數(shù)法得到PB所在直線的解析式為y=﹣x+1，設(shè)Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一點(diǎn)，則Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（a，1﹣a），將（a，1﹣a）代入y=﹣x+1顯然成立，依此即可求解．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，0），D（1，），

∴，

解得a=﹣，b=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2，

∵A（m，0）在拋物線上，

∴0=﹣m2﹣m+2，

解得：m1=﹣4，m2=2（舍去），

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，0）．

如圖所示：

（2）∵直線l的解析式為y=x﹣1，

∴S=ABPF

=×6PF

=3（﹣x2﹣x+2+1﹣x）

=﹣x2﹣3x+9

=﹣（x+2）2+12，

其中﹣4＜x＜0，

∴S的最大值是12，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，2）；

（3）∵直線PB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣2，2），B（2，0），

∴PB所在直線的解析式為y=﹣x+1，

設(shè)Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一點(diǎn)，

則Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（a，1﹣a），

將（a，1﹣a）代入y=﹣x+1顯然成立，

∴直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在PB所在直線上．