Question

【題目】如圖1，若拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上（點A與點B不重合），我們定義：這樣的兩條拋物L1 ， L2互為“友好”拋物線，可見一條拋物線的“友好”拋物線可以有多條．

（1）如圖2，已知拋物線L3：y=2x2﹣8x+4與y軸交于點C，試求出點C關于該拋物線對稱軸對稱的點D的坐標；
（2）請求出以點D為頂點的L3的友好拋物線L4的解析式，并指出L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍；
（3）若拋物y=a1 （x﹣m）2+n的任意一條友好拋物線的解析式為y=a2 （x﹣h）2+k，請寫出a1與a2的關系式，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線L3：y=2x2﹣8x+4，

∴y=2（x﹣2）2﹣4，

∴頂點為（2，4），對稱軸為x=2，

設x=0，則y=4，

∴C（0，4），

∴點C關于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標為：（4，4）

（2）

解：∵以點D（4，4）為頂點的L3的友好拋物線L4還過點（2，﹣4），

∴L4的解析式為y=﹣2（x﹣4）2+4，

由圖象可知，當2≤x≤4時，拋物線L3與L4中y同時隨x增大而增大

（3）

解：a1與a2的關系式為a1+a2=0或a1=﹣a2．…8分

理由如下：

∵拋物線y=a1 （x﹣m）2+n的一條“友好”拋物線的解析式為y=a2 （x﹣h）2+k，

∴y=a2 （x﹣h）2+k過點（m，n），且y=a1 （x﹣m）2+n過點（h，k），即

k=a1 （h﹣m）2+n…①

n=a2 （m﹣h）2+k…②

由①+②得（a1+a2）（h﹣m）2=0．

又“友好”拋物線的頂點不重合，

∴h≠m，

∴a1+a2=0或a1=﹣a2

【解析】（1）設x=0，求出y的值，即可得到C的坐標，把拋物線L3：y=2x2﹣8x+4配方即可得到拋物線的對稱軸，由此可求出點C關于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標；（2）由（1）可知點D的坐標為（4，4），再由條件以點D為頂點的L3的“友好”拋物線L4的解析式，可求出L4的解析式，進而可求出L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍；（3）根據：拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上，可以列出兩個方程，相加可得（a1+a2）（h﹣m）2=0．可得a1=﹣a2 ．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．