Question

【題目】已知，如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高。求證：AD垂直平分EF。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

由DE⊥AB,DF⊥AC，得出∠AED=∠AFD；因為AD是△ABC的角平分線，可得∠1=∠2，DE=DF，推出△AED≌△AFD，即AE=AF，所以點A在EF的垂直平分線上，又DE=DF，推出點D在EF的垂直平分線上，即可證明AD垂直平分EF；

證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD，

又∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠1=∠2，DE=DF，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，

∴點A在EF的垂直平分線上（到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上），

∵DE=DF，

∴點D在EF的垂直平分線上，

∴AD垂直平分EF.