Question

【題目】如圖，已知正方形的邊長為，點，，，分別在正方形的四條邊上，且，則四邊形的形狀為________，它的面積的最小值為________．

Answer 1

【答案】正方形

【解析】

先證明△AEH≌△DFE≌△CGF≌△BHG,從而得到HE=EF=FG=HG,然后證明EFGH四邊形有一個角是直角,從而可判斷出四邊形EFGH的形狀,設AE=x,則AH=(-x),依據正方形的面積公式以及勾股定理可得到四邊形EFGH的面積與x的函數關系式,依據二次函數的性質求得二次函數的最小值即可.

∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD, ∠A=∠B=∠C=∠D.
∵AE=DF=CG=BH,
∴AH=ED=FG=BG.
在△AEH、△DFE、△CGF、△BHG中, ,
∴△AEH≌△DFE≌CGF≌△BHG.
∴HE=EF=FG=HG.
∴四邊形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△DFE,
∴∠AEH=∠DFE.
∵∠AHE+∠AEH=90°,
∴∠DEF+∠AEH=90°.
∴∠HEF=90°.
∴EHGF為正方形.
設AE=x,則AH=(-x).

∵正方形EFHG的面積=HE=AE+AH=x+( -x) =2x-2 x+5,
∴當x=時,正方形的面積有最小值.
∴正方形EFHG的面積的最小值=.
故答案為:正方形;.