Question

【題目】好學的小紅在學完三角形的角平分線后，遇到下列4個問題，請你幫她解決．如圖，在△ABC中，∠BAC=48°，點I是兩角∠ABC、∠ACB的平分線的交點．

（1）填空：∠BIC=　　　　 °．

（2）若點D是兩條外角平分線的交點，填空：∠BDC=　　　　 °．

（3）若點E是內角∠ABC、外角∠ACG的平分線的交點，試探索：∠BEC與∠BAC的數量關系，并說明理由．

（4）在問題（3）的條件下，當∠ACB等于　　　　 度時，CE∥AB？

Answer 1

【答案】（1）114；（2）66；（3）∠BEC∠BAC，理由見解析；（4）84．

【解析】

（1）先根據三角形的內角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數，進而可根據角平分線的性質求得∠IBC+∠ICB的度數，然后再利用三角形的內角和定理即可求出結果；

（2）根據一對鄰補角的平分線互相垂直可得∠IBD=∠ICD=90°，根據四邊形的內角和可得∠BDC+∠BIC=180°，再結合（1）題的結果即得答案；

（3）設∠ACE=∠ECG=x，∠ABI=∠IBC=y，根據三角形的外角性質可得2x=2y+∠A，x=y+∠E，然后整體變形即得結論；

（4）根據平行線的判定可得當∠ECA=∠A=48°時CE∥AB，然后根據角平分線的性質和平角的定義即可求出結果．

解：（1）∵∠A=48°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣48°=132°．

∵點I是兩角∠ABC、∠ACB的平分線的交點，

∴∠IBC+∠ICB(∠ABC+∠ACB)=66°，∴∠BIC=180°﹣66°=114°．

故答案為：114．

（2）如圖，∵IB平分∠ABC，DB平分∠FBC，

∴∠IBD(∠ABC+∠FBC)= 90°，

同理可得∠ICD=90°，

∴∠BDC+∠BIC=180°，

∴∠BDC=180°－∠BIC=66°．

故答案為：66．

（3）∠BEC∠BAC．

理由：設∠ACE=∠ECG=x，∠ABI=∠IBC=y，

∴2x=2y+∠A①，x=y+∠E②，

則①÷2﹣②可得：∠E∠A．

（4）當∠ECA=∠A=48°時，CE∥AB，

∵CE平分∠ACG，

∴∠ECG=∠ECA=48°，

∴∠ACB=180°﹣48°﹣48°=84°．

故答案為：84．