Question

如圖，矩形ABCD的邊AB=4，AD=10．點P是BC邊上的一個點，如果△ABP與△CDP相似，那么符合條件的點P有

 

個．

Answer 1

分析：由四邊形ABCD是矩形，即可得∠B=∠C=90°，AB=CD=4，AD=BC=10，然后分別從當

AB

CD

=

BP

CP

時，△ABP∽△CDP；當

AB

CP

=

BP

CD

時，△ABP∽△PCD，借助于方程求解即可求得答案．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=4，AD=BC=10，
當BC=5時，

AB

CD

=

BP

CP

，即BP=CP=

1

2

BC=5時，△ABP∽△CDP；
當

AB

CP

=

BP

CD

時，△ABP∽△PCD，
設BP=x，則CP=BC-BP=10-x，
∴

4

10-x

=

x

4

，
解得：x=2或x=8，
即BP=2或BP=8時，△ABP∽△PCD．
∴當BP=5或2或8時，△ABP與△CDP相似．
∴符合條件的點P有3個．

點評：此題考查了相似三角形的性質與矩形的性質．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合、方程思想與分類討論思想的應用．