Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，點P在AB上，點Q在AC或AC的延長線上，AQ＝AP，以AP、AQ為鄰邊作菱形APRQ，設AP的長為x，菱形APRQ與△ABC重影部分圖形的面積為y(平方單位)，

(1)求sinA的值.

(2)當x為何值時，點R落在BC上.

(3)當菱形APRQ與△ABC重疊部分的圖形為四邊形時，求y與x的函數關系式.

(4)直接寫出當x為何值時，經過三角形頂點的直線同時將菱形、三角形的面積二等分.

Answer 1

【答案】(1)sinA＝；(2)x＝；(3)y=﹣x2+3x+8；(4)滿足條件的x的值為或.

【解析】

(1)如圖1中，作CD⊥AB于D.根據等腰三角形的性質以及勾股定理求出CD即可解決問題.

(2)由QR∥BC，可得＝，由此構建方程即可解決問題.

(3)分兩種情形：①當0＜x≤時，重疊部分是菱形APRQ.②如圖3中，當5≤x＜8時，重疊部分是四邊形APMC，作MH⊥PB于H.分別求解即可.

(4)分兩種情形：連接AR，PQ交于點O，當點O在△ABC的中線BM上時，滿足條件.如圖4中，作OH∥AB交AC于H.如圖5中，當點O落在中線AD上時，滿足條件.分別利用平行線分線段成比例定理，構建方程即可解決問題.

解：(1)如圖1中，作CD⊥AB于D.

∵CA＝CB＝5，CD⊥AB，

∴AD＝DB＝4，∠ADC＝90°，

∴CD＝＝＝3.

∴sinA＝＝，

(2)如圖2中，當點R落在BC上時，

∵QR∥BC，

∴＝，

∴＝，

∴x＝.

(3)①當0＜x≤時，重疊部分是菱形APRQ，S＝PAAQsinA＝xx＝x2.

②如圖3中，當5≤x＜8時，重疊部分是四邊形APMC，作MH⊥PB于H.

在Rt△MPH中，PH＝BH＝，

MH＝PHtan∠MPH＝

S＝S△ABC﹣S△PBM＝×8×5﹣(8﹣x)＝﹣x2+3x+8.

(4)連接AR，PQ交于點O，當點O在△ABC的中線BM上時，滿足條件.如圖4中，作OH∥AB交AC于H.

∵OQ＝OP，OH∥PA，

∴AH＝HQ＝x，OH＝PA＝x，

∵OH∥AB，

∴＝，

∴＝，

解得x＝.

如圖5中，當點O落在中線AD上時，滿足條件.

∵OH∥AD，

∴＝，

∴＝，

解得x＝，

綜上所述，滿足條件的x的值為或.