Question

【題目】現有一塊矩形地皮，計劃共分九個區域區域甲、乙是兩個矩形主體建筑，區域丙為梯形停車場，區城①-④是四塊三角形綠化區，△AEL和△CIJ為綜合辦公區（如圖所示）．∠HEL=∠ELI=90°,MN//BC．AD=220米，AL=40米，AE=IC=30米．

（1）求HI的長

（2）若BG=KD，求主體建筑甲和乙的面積和.

（3）設LK=3x米，綠化區②的面積為S平方米.若要求綠化區②與④的面積之差不少于1200平方米，求S關于x的函數表達式.并求出S的最小值

Answer 1

【答案】（1）；（2）15750；（3）當x=30時，S最小值=3600.

【解析】

（1）過H作HP⊥LI于點P，得四邊形EHPL為矩形，得HP=EL=50米，再證∠PHI=∠ALE，由cos∠ALE便可求得HI；

（2）設BG=KD=x米，用x表示KL、GH，進而通過三角函數用x表示KN、MG、EF，再由AE+EF=KN，列出x的方程，求出x的值便可；

（3）由三角函數用x表示KN，進而表示FM、GH、MG，再已知條件“綠化區②與④的面積之差不少于1200平方米”列出不等式，求出x的取值范圍，進而由三角形面積公式表示出S與x的函數關系式，最后由函數性質求出最小值．

（1）過H作HP⊥LI于點P，如圖所示，

則四邊形EHPL為矩形，HP=EL=，

∵∠A=∠B=∠EHP=90°，

∴∠PHI+∠BHE=∠BHE+∠BEH=∠BEH+∠AEL=∠AEL+∠ALE=90°，

∴∠ALE=∠PHI，

∴，

∴，

答：HI的長度為米；

（2）設BG=KD=x米，則GH=220-x--30=-x，LK=220-40-x=180-x，FM=x，

由互余角性質，易證∠KLN=∠AEL=∠EMF=∠MHG，

∴tan∠KLN=tan∠EMF=tan∠MHG=tan∠AEL=，

∴KN=LKtan∠KLN=240-x，

EF=MFtan∠EMF=x，

MG=GHtan∠MHG=170-x，

∵MN∥BC∥AD，

∴AF=KN，即30+x=240-x，

解得，x=，

∴主體建筑甲和乙的面積和為：BGGM+DKKN=×（170-×）+×（240-×）=15750，

答：主體建筑甲和乙的面積和15750平方米；

（3）∵LK=3x，

∴KN=LKtan∠KLN=3x×=4x，NJ=KD=220-40-3x=180-3x，

∴BG=FM=220-NJ-MN=220-180+3x-=3x-，

∴GH=220-BG-HI-IC=220-3x+--30=150-3x，

∴GM=GHtan∠GHM=200-4x，

∵綠化區②與④的面積之差不少于1200平方米，

∴NJGM-GHGM≥1200，

即（180-3x）（200-4x）-（150-3x）（200-4x）≥1200，

解得，x≤30，

∵S=NJGM=（180-3x）（200-4x）=6（x-55）2-25，

∴當x＜55時，S隨x的增大而減小，

∴當x=30時，S有最小值為：S=6（30-55）2-25=3600．