Question

【題目】（12分）如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC，BD為⊙O的弦，且AB∥CD，過點A作⊙O的切線AE與DC的延長線交于點E，AD與BC交于點F．

（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）若AE=6，CD=5，求OF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）．

【解析】

試題（1）根據切線的性質證明∠EAC=∠ABC，根據等腰三角形等邊對等角的性質和等量代得到∠EAC=∠ACB，從而根據內錯角相等兩直線平行的判定得到AE∥BC，結合已知AB∥CD即可判定四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）連接AO，交BC于點H，雙向延長OF分別交AB，CD于點N，M，根據切割線定理求得EC=4，證明四邊形ABDC是等腰梯形，根據對稱性、圓周角定理和垂徑定理的綜合應用證明△OFH∽△DMF∽△BFN，并由勾股定理列式求解即可．

試題解析：（1）∵AE與⊙O相切于點A，∴∠EAC=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC，∵AB∥CD，∴四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）如圖，連接AO，交BC于點H，雙向延長OF分別交AB，CD與點N，M，∵AE是⊙O的切線，由切割線定理得，AE2=ECDE，∵AE=6，CD=5，∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去負數），由圓的對稱性，知四邊形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4，又根據對稱性和垂徑定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，設OF=x，OH=Y，FH=z，∵AB=4，BC=6，CD=5，∴BF=BC﹣FH=3﹣z，DF=CF=BC+FH=3+z，易得△OFH∽△DMF∽△BFN，∴，，即，①， ②，①+②得：，∴，①÷②得：，解得：，∵，∴，∴x=，∴OF=．