Question

【題目】在等邊中，點，分別在邊，上．

（1）如圖，若，以為邊作等邊，交于點，連接．

求證：①；

②平分．

（2）如圖，若，作，交的延長線于點，求證：．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析

【解析】

（1）①利用SAS即可證出△ABF≌△CAE，再根據全等三角形的性質即可證出結論；

②過點D作DM⊥AF于M，作DN⊥EC交EC延長線于N，利用AAS證出△ADM≌△CDN，即可得出DM=DN，然后根據角平分線的判定定理即可證出結論；

（2）在CB上截取一點G，使CF=FG，連接AG，利用SAS證出△EAC≌△GCA，可得CE=AG，∠AEC=∠CGA，然后利用ASA證出△AGF≌△PCF，可得AG=CP，從而證出結論．

解：（1）①△ABC為等邊三角形

∴AB=CA，∠B=∠CAE=∠BAC=60°

在△ABF和△CAE中

∴△ABF≌△CAE

∴

②過點D作DM⊥AF于M，作DN⊥EC交EC延長線于N

∵△ABF≌△CAE

∴∠BAF=∠ACE

∴∠AOC=180°－∠ACE－∠OAC=180°－∠BAF－∠OAC=180°－∠BAC=120°

∴∠MDN=360°－∠AOC－∠DMO－∠DNO=60°

∵△ACD為等邊三角形

∴DA=DC，∠ADC=60°

∴∠ADC=∠MDN

∴∠ADC－∠MDC=∠MDN－∠MDC

∴∠ADM=∠CDN

在△ADM和△CDN中

∴△ADM≌△CDN

∴DM=DN

∴平分

（2）在CB上截取一點G，使CF=FG，連接AG

∵AE=2CF，CG=CF＋FG=2CF

∴AE=CG

∵△ABC為等邊三角形

∴∠EAC=∠GCA=60°

在△EAC和△GCA中

∴△EAC≌△GCA

∴CE=AG，∠AEC=∠CGA

∵∠AEC=∠BCP

∴∠CGA=∠BCP，即∠AGF=∠PCF

在△AGF和△PCF中

∴△AGF≌△PCF

∴AG=CP

∴CE=CP