Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點O在BC上，以線段OC的長為半徑的⊙O與AB相切于點D，分別交BC、AC于點E、F，連接ED并延長，交CA的延長線于點G．

（1）求證：∠DOC＝2∠G．

（2）已知⊙O的半徑為3．

①若BE＝2，則DA＝　 　．

②當BE＝　 　時，四邊形DOCF為菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②3．

【解析】

（1）根據切線的性質可得∠ODB＝90°，再根據平行線的判定可得OD∥CG，進而得到∠G＝∠ODE，因為OD＝OE，所以∠OED＝∠ODE，最好根據圓周角為圓心角的一半即可得證；

（2）①利用勾股定理求得BD=4，由（1）知，OD∥CG，可得△BOD∽△BCA，再根據相似三角形的的性質求解即可；

②如圖，連接DF，OF，根據菱形的性質可得DF＝CF＝OC＝OD＝3，進而可得△ODF為等邊三角形，即∠ODF＝60°，根據30°角所對直角邊為斜邊的一半可得AF=，進而可得AC＝，由（2）知△BOD∽△BCA，再根據相似三角形的的性質求解即可.

（1）證明：∵AB為⊙O的切線，

∴OD⊥AB，

∴∠ODB＝90°，

∴∠BAC＝∠ODB＝90°，

∴OD∥CG，

∴∠G＝∠ODE，

∵OD＝OE，

∴∠OED＝∠ODE，

∵∠DOC＝∠ODE+∠OED，

∴∠DOC＝2∠ODE＝2∠G；

（2）解：①在Rt△BOD中，

OD＝3，OB＝OE+BE＝5，

∴BD＝＝4，

由（1）知，OD∥CG，

∴△BOD∽△BCA，

∴，

即，

∴AD＝，

故答案為：；

②如下圖，連接DF，OF，

當四邊形DOCF為菱形時，

DF＝CF＝OC＝OD＝3，

∵OF＝3，

∴△ODF為等邊三角形，

∴∠ODF＝60°，

∴∠ADF＝90°﹣∠ODF＝30°，

在Rt△DAF中，DF＝3，

∴AF＝3×＝，

∴AC＝CF+AF＝，

由（2）知，∴△BOD∽△BCA，

∴，

即，

∴BE＝3，

故答案為：3．