Question

【題目】如圖，在線段上有一點，在的同側作等腰和等腰，且，，，直線與線段，線段分別交于點，對于下列結論：①∽；②∽；③；④若，則．其中正確的是（ ）

A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ①②

Answer 1

【答案】A

【解析】

(1)通過證明∽，可判斷①；（2）由①∽，得，再證明∠ACE=∠DCB,即可證明②；（3）證明∽，來判定③；（4）通過證明△BDC∽△EAC，△EFB∽△EBA, △EFC∽△ECA, △DFC∽△DCG,來對④進行判斷.

解：∵，，，

∴∠ACD= ，∠ECB =∠EBC=，∠ACD=∠EBC.

∴DC∥EB

∴∽，故①正確；

∵∽，∴

∵由①得∠ACD=∠ECB，∴∠ACD+∠DCE =∠ECB+∠DCE，即∠ACE=∠DCB,

∴∽，故②正確；

∵∽，∴∠CBD=∠FEG，又∵∠FGE=∠CGB，∴∽，

∴ ， ∴ ，故③正確；

∵∠DAC=∠CEB=90°,AC=AD, BE=CE,

∴△ADC和△BCE是等腰直角三角形，

∴CD=AC=AD，CB=CE, ∠1=∠2=45°，∠DCE=90°，∠ACE=∠DCB=180°-45°=135°，

∴CD:CA=CB:CE=,

∴△BDC∽△EAC

∴∠3=∠4，∠5=∠6，

又∵∠6+∠7=45°，∴∠5+∠7=45°，

又∵∠8=90°,

∴在△EFB中，∠EFB=180°-∠8-（∠5+∠7）=45°，

在△EFB和△BEA中，

∵∠1=∠2=45°，∴∠DCE=90°=∠CEB,

∴DC∥EB，∴∠7=∠3=∠4，∠FEB=∠BEF,

∴△EFB∽△EBA,

∴EB:EF=AE:EB,

又∵∠5=∠5

∴△EFC∽△ECA,

∴∠EFC=∠ECA=180°-∠2=135°,

∴∠BFC=∠EFC-∠EFB=135°-45°=90°.

∴∠DFC=180°-∠CFB=90°=∠DCG

又∵∠3=∠3

∴△DFC∽△DCG,

∴DC:DF=DG:DC,即DC2=DF×DG

又∵CD=AD

∴（AD）2=DF×DG，即2AD2=DF·DG.故④正確.

故選：A.