Question

【題目】如圖，在等腰與等腰，，，，連接和相交于點，交于點，交與點.下列結論：①；②；③平分；④若，則.其中一定正確的結論的個數是( )

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①比較好判斷，證明△ABD≌△ACE即可；②錯誤，用8字模型可求出∠BPE=180°-；③也好判斷，全等三角形面積相等，且底邊也相等，推出高也相等，利用角平分線的判斷定理即可；④構造全等三角形，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半轉化求解即可.

∵∠BAC=∠DAE=，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AE=AD，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，故①正確.

∵∠EPD+∠ADB+∠PND=180°=∠AEC+∠ANE+∠DAE，∠AEC=∠ADB，∠PND=∠ANE，

∴∠EPD=∠DAE=，

∵∠BPE=180°-∠EPD，

∴∠BPE=180°-，故②錯誤.

∵全等三角形面積相等，且BD=CE，如圖所示，從A點分別作高可知，h1=h2，

∴AP平分∠BPE，故③正確.

如圖所示，從E點引垂線交AP，BD于K、G兩點.

∵=60°，

∴由②③可知∠KPE=∠EPG=60°，

∴EK=EG，

∵∠PAD=∠PED，

∴∠PAD+60°=∠PED+60°，即∠EDG=∠EAK，

∴△AKE≌△DGE，

∴AK=DG，

∵∠PEG=90°-60°=30°，

∴KP=PG=PE，

∴PE=AP+PD，故④正確.