Question

【題目】已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，

（1）如圖①，E，F分別是AB，AC上的點，且BE＝AF，求證：△DEF為等腰直角三角形．

（2）如圖②，若E，F分別為AB，CA延長線上的點，仍有BE＝AF，其他條件不變，那么△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）先連接AD，構造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底邊上的中線，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可證出：△BED≌△AFD，從而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，從而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；

（2）還是證明：△BED≌△AFD，主要證∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再結合兩組對邊對應相等，所以兩個三角形全等．

試題解析：（1）連接AD，

∵AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點，

∴AD⊥BC，BD=AD．

∴∠B=∠DAC=45°

又BE=AF，

∴△BDE≌△ADF（SAS）．

∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．

∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．

∴△DEF為等腰直角三角形．

（2）△DEF為等腰直角三角形．理由：

若E，F分別是AB，CA延長線上的點，如圖所示：

連接AD，

∵AB=AC，

∴△ABC為等腰三角形，

∵∠BAC=90°，D為BC的中點，

∴AD=BD，AD⊥BC（三線合一），

∴∠DAC=∠ABD=45°．

∴∠DAF=∠DBE=135°．

又AF=BE，

∴△DAF≌△DBE（SAS）．

∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．

∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．

∴△DEF仍為等腰直角三角形．