Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點E，F為BE上一點，連接DF，過F作FG⊥DF交BC于點G，連接BD交FG于點H，若FD = FG， ，BG = 4，則GH的長為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】過點F作BC的垂線，分別交BC、AD于點M、N，則MN⊥AD，過點A作AP⊥BD于點P，延長DF交AB于點K，過點K作KQ⊥BD于點Q，如圖所示。

∵FD⊥FG，

∴∠DFG=90°，

∴∠DFN+∠MFG=90°，

∵∠DNF=90°，

∴∠NDF+∠DFN=90°，

∴∠NDF=∠MFG，

在DNF和△FMG中，

，

∴△DNF≌△FMG(AAS)，

∴DN=FM，NF=MG.

∵∠BAD=90°,BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠CBE=45°，

又∵FM⊥BM，

∴FM=BM，

∵BF=，

∴BM=FM=3，MG=BGBM=43=1，

∴NF=MG=1，AB=NM=4，AD=AN+ND=BM+FM=6，

∴BD=.

由面積公式可知：S△ABD=BDAP=ABAD,即AP=4×6，

∴AP=，

∵NF∥AB，

∴△DNF∽△DAK，

∴，

∴AK=2NF=2,DK= =2,DF==.

∴BK=ABAK=42=2，

∵KQ∥AP，

∴△BKQ∽△BAP，

∴,即, ，

∴KQ=，

∴BQ===，

∴DQ=BDBQ==，

∵∠DFH=∠DQK=90°，∠FDH=∠QDK，

∴△DFH∽△DQK，

∴，

即，

∴FH=，

∴GH=FGFH==.

故答案為：