Question

【題目】問題探究

將幾何圖形按照某種法則或規則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換．旋轉變換是幾何變換的一種基本模型．經過旋轉，往往能使圖形的幾何性質明白顯現．題設和結論中的元素由分散變為集中，相互之間的關系清楚明了，從而將求解問題靈活轉化．

問題提出：如圖1，是邊長為1的等邊三角形，為內部一點，連接，求的最小值．

方法通過轉化，把由三角形內一點發出的三條線段(星型線)轉化為兩定點之間的折線(化星為折)，再利用“兩點之間線段最短”求最小值(化折為直)．

問題解決：如圖2，將繞點逆時針旋轉至，連接、，記與交于點，易知，．由，，可知為正三角形，有．

故．因此，當共線時，有最小值是．

學以致用：(1)如圖3，在中，，，為內部一點，連接、，則的最小值是__________．

(2)如圖4，在中，，，為內部一點，連接、，求的最小值．

(3)如圖5，是邊長為2的正方形內一點，為邊上一點，連接、，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）.

【解析】

（1）將繞點逆時針旋轉得到，易知是等邊三角形，，轉化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用“兩點之間線段最短”求最小值（化折為直）．

（2）將繞點逆時針旋轉得到，易知是等腰直角三角形，，作交的延長線于．轉化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用“兩點之間線段最短”求最小值（化折為直）．

（3）如圖5中，將繞點逆時針旋轉得到，則易知是等邊三角形，轉化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用“垂線段最短”求最小值．

解：（1）如圖3中，

將繞點逆時針旋轉得到，

∴≌，∠CAE=PAF=60°，

∴AE=AC=3，AF=AP，

∴是等邊三角形，

∵∠BAC=30°，

∴，

在中，，

，

，

的最小值為5．

故答案為5．

（2）如圖4中，

將繞點逆時針旋轉得到，

∴AF=AP，∠FAP=90°，

∴是等腰直角三角形，

∴FP=，

∵∠BAC=45°，

∴，，

作交的延長線于．

在中，

，，

，

在中，

，

，

的最小值為．

（3）如圖5中，將繞點逆時針旋轉得到，則易知是等邊三角形，

作于，交于．

，

易知，，

，

，

的最小值為．