Question

【題目】如圖，是的弦，過的中點作，垂足為，過點作的切線交的延長線于點．

（1）求證：；

（2）連接，若，，求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）204

【解析】

（1）要證明DB=DE，只要證明∠DEB=∠DBE即可；
（2）作DF⊥AB于F，連接OE．只要證明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE=，由此求出AO的長，由勾股定理可求OE的長即可解決問題．

證明：（1）∵AO=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵BD是切線，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD=90°，
∴∠OBE＋∠EBD=90°，
∵EC⊥OA，
∴∠CAE＋∠CEA=90°，
∵∠CEA=∠DEB，
∴∠EBD=∠BED，
∴DB=DE．
（2）作DF⊥AB于F，連接OE．

∵DB=DE，AE=EB=AB=12，
∴EF=BE=6，OE⊥AB，
在Rt△EDF中，DE=BD=10，EF=6，
∴DF=，
∵∠AOE＋∠OAB=90°，∠DEF＋∠OAB=90°，
∴∠AOE=∠DEF，
∴sin∠DEF=sin∠AOE=，

∵AE=12，
∴AO=15
∴OE=
∴四邊形OADB的面積=×AB×OE＋×AB×DF=204．