Question

（2012•臺(tái)州模擬）已知A、B、C、D點(diǎn)的坐標(biāo)如圖所示，E在線段AC的延長(zhǎng)線上，若△ABC和△ADE相似，則E點(diǎn)的坐標(biāo)是

（4，-3）或（

16

13

，-

15

13

）

．

Answer 1

分析：根據(jù)點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)求出AB、BC、AC、AD的長(zhǎng)，然后分兩種情況：①當(dāng)∠ADE=90°時(shí)，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求出DE的長(zhǎng)度，再結(jié)合圖形即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；②當(dāng)∠AED=90°時(shí)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求出AE的長(zhǎng)度，過(guò)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，解直角三角形求出AF、EF，然后結(jié)合圖形即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：由圖可知，A（-5，3）、B（1，3）、C（1，-1）、D（4，3），
∴AB=1-（-5）=6，BC=3-（-1）=4，
AC=

AB2+BC2

=

62+42

=2

13

，
AD=4-（-5）=9，
①如圖1，當(dāng)∠ADE=90°時(shí)，∵△ABC∽△ADE，
∴

AB

AD

=

BC

DE

，
即

6

9

=

4

DE

，
解得DE=6，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3-6=-3，
∴點(diǎn)E（4，-3）；
②如圖2，當(dāng)∠AED=90°時(shí)，∵△ABC∽△AED，
∴

AB

AE

=

AC

AD

，
即

6

AE

=

2 13

9

，
解得AE=

27 13

13

，
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，
則AF=AE•cos∠BAC=

27 13

13

×

6

2 13

=

81

13

，
EF=AE•sin∠BAC=

27 13

13

×

4

2 13

=

54

13

，
∵

81

13

-5=

16

13

，

54

13

-3=

15

13

，
∴點(diǎn)E（

16

13

，-

15

13

），
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，-3）或（

16

13

，-

15

13

）．
故答案為：（4，-3）或（

16

13

，-

15

13

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，注意要分情況討論．