Question

【題目】已知：如圖，是⊙上一點，半徑的延長線與過點的直線交于點，．

（1）求證：是⊙的切線；

（2）若，，求弦的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）利用題中的邊的關系可求出△OAC是等邊三角形，然后利用角邊關系又可求出∠CAB=30°，從而求出∠OAB=90°，所以判斷出直線AB與⊙O相切；
（2）作AE⊥CD于點E，由已知條件得出AC=2，再求出AE=CE，根據解直角三角形就可以得到DE，從而得出答案．

（1）證明：連接OA，則OA=OC．

∵OC=AC

∴△OAC是等邊三角形

∴∠OAC=∠OCA=∠AOC=60

∵AC=BC

∴∠CAB=∠B

∵∠OCA是△ACB的外角

∴∠OCA=∠CAB+∠B

∴

∴∠OAB=∠OAC+∠CAB=90

即：OA⊥AB

∴AB是⊙O的切線。

（2）解：過點A作AE⊥CD于點E

∵△OAC是等邊三角形 ∴AC=OC=2

在Rt△AEC中，

AE=AC·sin∠ACD=2×sin45=

CE=AC·cos∠ACD=2×cos45=

∵∠D=∠AOC=30

∴在Rt△AED中，

∴．