Question

【題目】如圖，在ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=DC，AB=6，AD=8，點P、Q分別為BC、AD上的動點，連接PQ，與BD相交于點O．

（1）當∠1=∠2時，求證：∠DOQ=∠DPC；

（2）當（1）的條件下，求證：DQ·PC=BD·DO；

（3）如果點P由點B向點C移動，每秒移動2個單位，同時點Q由點D向點A移動，每秒移動1個單位，設移動的時間為t秒，是否存在某一時刻，使得△BOP為直角三角形，如果存在，請直接寫出t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）存在；當t＝秒或t＝秒時，△BOP為直角三角形．

【解析】

（1）根據相似三角形的判定定理證明△DOP∽△DPB，得到∠DOP=∠DPB，根據鄰補角的

性質證明結論；

（2）證明△DOQ∽△CPD，根據相似三角形的對應邊成比例證明結論；

（3）分①∠BPO=90°和②∠POB=90°兩種情況，根據矩形的性質和相似三角形的性質計算即可．

（1）證明：∵∠PDO=∠BDP，∠1=∠2，

∴△DOP∽△DPB，

∴∠DOP=∠DPB，

∵∠DOQ+∠DOP=∠DPC+∠DPB=180°，

∴∠DOQ=∠DPC；

（2）證明：∵AD∥BC，

∴∠ADO=∠1，

∵BD=DC，

∴∠1=∠C，

∴∠ADO=∠C，

又∵∠DOQ=∠DPC，

∴△DOQ∽△CPD，

∴，

∵BD=DC，

∴，

∴DQPC=BDDO；

（3）存在，

①如圖1，當∠BPO=90°時，

∵BP=2t，DQ=t，

∴AQ=8-t

∵此時AQ=BP

∴8-t=2t

∴t＝；

②如圖2，當∠POB=90°時，

∵△DOQ∽△BOP

∴

∵AB=6，AD=8，

∴BD=10，

∴DO=

∵△DOQ∽△DBA，

∴，

∴，

∴t＝．

綜上所述，當t＝秒或t＝秒時，△BOP為直角三角形．