Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣2mx+m2+m的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B．當(dāng)拋物線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，分別作點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連結(jié)AB、BC、CD、DA．

（1）分別用含有m的代數(shù)式表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．

（2）判斷點(diǎn)B能否落在y軸負(fù)半軸上，并說(shuō)明理由．

（3）連結(jié)AC，設(shè)l=AC+BD，求l與m之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，交y軸于點(diǎn)P，以AP為邊作正方形APMN，MN在AP上方，如圖②，當(dāng)正方形APMN與四邊形ABCD重疊部分圖形為四邊形時(shí)，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A（m， m），（0，m2+m）；（2）點(diǎn)B能落在y軸負(fù)半軸上；（3）l=2m2﹣m；（4）m＜﹣1．

【解析】試題分析：

（1）①把配方化為頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；②在中，由可得，由此可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）由頂點(diǎn)A的位置可得“”；由點(diǎn)B的坐標(biāo)為可知，若點(diǎn)B在軸負(fù)半軸，則有，兩者結(jié)合可解得： 時(shí)，點(diǎn)B就在軸負(fù)半軸；

（3）由題意可知： =AC+BD=2OA+OB，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可用和含“”的代數(shù)式表達(dá)出OA、OB的長(zhǎng)度，從而可得與間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）由題意可知，當(dāng)AP<BP時(shí)，正方形APMN與四邊形ABCD重疊部分圖形為四邊形時(shí)，由AP= ，BP= 列出不等式，結(jié)合即可求出的取值范圍；

試題解析：

（1）∵把配方，得： ，

∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為；

∵在中，當(dāng)時(shí)， ；

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

（2）點(diǎn)B能落在y軸負(fù)半軸上，理由如下：

由圖可知頂點(diǎn)A在第三象限，

∴，

∵B點(diǎn)的縱坐標(biāo)要小于零，

∴，

由，得： ，

解得： ，

即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B能落在軸的負(fù)半軸上；

（3）由點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為C、D，可得：AC=2OA，BD=2OB，

∵A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為，

∴OA= ，OB= ，

∴=AC+BD=2OA+2OB= ；

（4）由題意，當(dāng)正方形APMN與四邊形ABCD重疊部分圖形為四邊形時(shí)，AP＜BP，

∵AP= ，BP= ，

∴ ，即，

又∵，

∴，解得： ，

∴當(dāng)正方形APMN與四邊形ABCD重疊部分圖形為四邊形時(shí)， 的取值范圍是： .