Question

【題目】如圖，拋物線y= x2﹣mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣1）．且對稱軸x=1．

（1）求出拋物線的解析式及A、B兩點的坐標；
（2）在x軸下方的拋物線上是否存在點D，使四邊形ABDC的面積為3？若存在，求出點D的坐標；若不存在．說明理由（使用圖1）；
（3）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點P的坐標（使用圖2）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線與y軸交于點C（0，﹣1）．且對稱軸x=l．

∴ ，解得： ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣1，

令 x2﹣ x﹣1=0，得：x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

（2）

解：設在x軸下方的拋物線上存在D（a， ）（0＜a＜3）使四邊形ABCD的面積為3．

作DM⊥x軸于M，則S四邊形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD，

∴S四邊形ABDC= |xAyC|+ （|yD|+|yC|）xM+ （xB﹣xM）|yD|

= ×1×1+ [﹣（ a2﹣ a﹣1）+1]×a+ （3﹣a）[﹣（ a2﹣ a﹣1）]

=﹣ a2+ +2，

∴由﹣ a2+ +2=3，

解得：a1=1，a2=2，

∴D的縱坐標為： a2﹣ a﹣1=﹣ 或﹣1，

∴點D的坐標為（1，﹣ ），（2，﹣1）

（3）

解：①當AB為邊時，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知點Q在y軸上，所以點P的橫坐標為﹣4或4，

當x=﹣4時，y=7；當x=4時，y= ；

所以此時點P1的坐標為（﹣4，7），P2的坐標為（4， ）；

②當AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，線段AB中點為G，PQ必過G點且與y軸交于Q點，

過點P3作x軸的垂線交于點H，

可證得△P3HG≌△Q3OG，

∴GO=GH，

∵線段AB的中點G的橫坐標為1，

∴此時點P橫坐標為2，

由此當x=2時，y=﹣1，

∴這是有符合條件的點P3（2，﹣1），

∴所以符合條件的點為：P1的坐標為（﹣4，7），P2的坐標為（4， ）；P3（2，﹣1）．

【解析】（1）根據二次函數對稱軸公式以及二次函數經過（0．﹣1）點即可得出答案；（2）根據S四邊形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD ， 表示出關于a的一元二次方程求出即可；（3）分別從當AB為邊時，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可以及當AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，分別求出即可．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．