Question

【題目】有一邊是另一邊的倍的三角形叫做智慧三角形，這兩邊中較長邊稱為智慧邊，這兩邊的夾角叫做智慧角．

（1）已知為智慧三角形，且的一邊長為，則該智慧三角形的面積為_________；

（2）如圖①，在中，，，求證：是智慧三角形；

（3）如圖②，是智慧三角形，為智慧邊，為智慧角，，點在函數（）的圖象上，點在點的上方，且點的縱坐標為，當是直角三角形時，求的值．

Answer 1

【答案】（1），，1，；（2）見解析；（3）或

【解析】

（1）由于不確定是哪條邊的邊長，故需分3種情況討論，每種情況中，不確定長的邊是否為智慧邊，故又需要分類討論；

（2）過C作AB邊的垂線CD，構造兩個有特殊角的直角三角形，即能用CD把各邊關系表示出來，易得BC是AC的倍，即可得證；

（3）由題意可知，因此當△ABC為直角三角形時，AB不可能為斜邊，即只分或，兩種情況討論，做輔助線構造三垂直模型，證得相似或全等三角形，再利用對應邊的關系把B、C的坐標表示出來，再代入計算．

解：（1）如圖2，設

①若

1）

2),則

②若

1），即

2），則

③若，則

故答案為：，，1，

（2）如圖2，過點作于點．

在中，，

∴．

在中，，

∴．

∴．

∴是智慧三角形．

（3）由題意可知或．

①當時，如圖3，

過點作軸于點，過點作交延長線于點，過點作軸于點，則．

∴．

∴．

∴．

∴．

設，則．

∵，

∴．

∵，，

∴，．

∵點在函數的圖象上，

∴．

解得：，（舍去）．

∴．

②當時，如圖4，過點作軸于點，過點作軸于點．

則．

∴．

∴．

由（1）知．

∴是等腰直角三角形．

∴．由①知．

∴．

∴．

設，則．

∴，．

∵點在函數（）的圖象上，

．

解得：．

∴．

綜上所述，或．