Question

【題目】數學課上，李老師出示了如下框中的題目．

小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：

（1）特殊情況探索結論

當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與的DB大小關系．請你直接寫出結論：AE__________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例啟發，解答題目

解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE__________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：

如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F，（請你完成以下解答過程）

（3）拓展結論，設計新題

在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）=，證明見解析；（3）3或1．

【解析】

試題分析：本題主要考查全等三角形的判定和性質及等邊三角形的性質和判定，利用全等得到BD=EF，再找EF和AE的關系是解題的關鍵．

（1）當E為中點時，過E作EF∥BC交AC于點F，則可證明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB；

（2）類似（1）過E作EF∥BC交AC于點F，可利用AAS證明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再證明△AEF是等邊三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；

（3）分點E在AB上和在BA的延長線上，類似（2）證得全等，再利用平行得到．

試題解析：

（1）答案為：=．

（2）答案為：=．

在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，

∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，

∴AE=AF=EF，

∴AB﹣AE=AC﹣AF，

即BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

∴∠BED=∠FCE，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DBE≌△EFC（SAS），

∴DB=EF，

∴AE=BD．

（3）解：分為四種情況：

如圖1：

∵AB=AC=1，AE=2，

∴B是AE的中點，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半），

∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，

∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，

即△DEB是直角三角形．

∴BD=2BE=2（30°所對的直角邊等于斜邊的一半），

即CD=1+2=3．

如圖2，

過A作AN⊥BC于N，過E作EM⊥CD于M，

∵等邊三角形ABC，EC=ED，

∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN∥EM，

∴△BAN∽△BEM，

∴=，

∵△ABC邊長是1，AE=2，

∴=，

∴MN=1，

∴CM=MN﹣CN=1﹣=，

∴CD=2CM=1；

如圖3，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否則△EDC不符合三角形內角和定理，

∴此時不存在EC=ED；

如圖4，

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，

又∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ECD＞∠EDC，

即此時ED≠EC，

∴此時情況不存在，

答：CD的長是3或1．