Question

【題目】如圖，

（1）如圖①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線且相交于點D，若∠A =70°，試求∠BDC的度數，并說明理由。

（2）如圖②，BD、CD分別是△ABC外角∠EBC、∠FCB的平分線且相交于點D，若∠A =x°，試用x表示∠BDC的度數，并說明理由。

（3）如圖③，BD、CD分別是∠ABC和△ACB外角∠ACE的平分線且相交于點D，試找出∠A與∠BDC之間的數量關系，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）∠BDC＝125°，理由見解析；（2）∠BDC＝90°x°，理由見解析；（3）∠BDC＝∠A，理由見解析.

【解析】

（1）先根據三角形內角和定理求出∠ABC＋∠ACB＝110°，再根據角平分線的性質和三角形內角和定理求解即可；

（2）先根據外角平分線的性質求出∠CBD＝（∠A＋∠ACB），∠BCD＝（∠A＋∠ABC），再由三角形內角和定理解答即可；

（3）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠D＋∠DBC，再根據角平分線的定義可得∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，然后整理可得∠BDC＝∠A.

解：（1）∠BDC＝125°，

理由：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線，

∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，

∵∠ABC＋∠ACB＝180°∠A＝110°，

∴∠BDC＝180°∠DBC∠DCB＝180°（∠ABC＋∠ACB）＝180°55°＝125°；

（2）∠BDC＝90°x°；

理由：∵BD、CD分別是△ABC外角∠EBC、∠FCB的平分線，

∴∠CBD＝（∠A＋∠ACB），∠BCD＝（∠A＋∠ABC），

∵∠ABC＋∠ACB＝180°∠A，

∴∠BDC＝180°∠CBD∠BCD

＝180°（∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC）

＝180°（2∠A＋180°∠A）

＝90°∠A，

即∠BDC＝90°x°；

（3）∠BDC＝∠A，

理由：由三角形的外角性質可得，∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠D＋∠DBC，

∵BD、CD分別是∠ABC和△ACB外角∠ACE的平分線，

∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，

∴（∠A＋∠ABC）＝∠D＋∠ABC，

∴∠BDC＝∠A.