Question

【題目】如圖， 是⊙ 的直徑， 、 為⊙ 上位于 異側的兩點，連接 并延長至點 ，使得 ，連接 交⊙ 于點 ，連接 、 、 .

（1）證明: ;
（2）若 ，求 的度數;
（3）設 交 于點 ，若 是 的中點，求 的值.

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵CD=BD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C；

（2）解：∵四邊形AEDF是⊙O的內接四邊形，

∴∠AFD=180°-∠E，

又∵∠CFD=180°-∠AFD，

∴∠CFD=∠E=55°，

又∵∠E=∠C=55°，

∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°

（3）解：連接OE，

∵∠CFD=∠E=∠C，

∴FD=CD=BD=4，

在Rt△ABD中，cosB= ，BD=4，

∴AB=6，

∵E是 的中點，AB是⊙O的直徑，

∴∠AOE=90°，

∵AO=OE=3，

∴AE=3 ，

∵E是 的中點，

∴∠ADE=∠EAB，

∴△AEG∽△DEA，

∴ ，

即EGED=AE2=18

【解析】（1）由AB是⊙O的直徑，得到AD⊥BC，CD=BD，得到AD垂直平分BC，根據垂直平分線的性質，線段垂直平分線上的點與線段的兩個端點的距離相等，得到AB=AC，得到∠B=∠C，根據圓周角定理得到∠E=∠C；（2）由四邊形AEDF是⊙O的內接四邊形，得到∠AFD與∠E互補，又∠CFD與∠AFD互補，得到∠CFD=∠E，又∠E=∠C，∠BDF=∠C+∠CFD的度數；（3）根據在同一個圓中，等角所對的弦相等，得到FD=CD=BD，根據三角函數值，求出AB的值，由已知E是AB弧的中點，得到AE的值，和△AEG∽△DEA，得到比例，求出GED=AE2的值.