Question

【題目】如圖1，拋物線y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）與x軸交于A、B兩點（A在B左邊），與y軸交于點C．連接AC、BC，D為拋物線上一動點（D在B、C兩點之間），OD交BC于E點．

（1）若△ABC的面積為8，求m的值；

（2）在（1）的條件下，求的最大值；

（3）如圖2，直線y＝kx+b與拋物線交于M、N兩點（M不與A重合，M在N左邊），連MA，作NH⊥x軸于H，過點H作HP∥MA交y軸于點P，PH交MN于點Q，求點Q的橫坐標．

Answer 1

【答案】(1)m=2;(2);(3) Q點的橫坐標為2.

【解析】

（1）解方程x2＋（m－2）x一2m=0求出拋物線與x軸的交點，再令x=0，求出拋物線與y軸的交點，然后根據△ABC的面積為8，列方程求解即可；

（2）過點D作DF∥y軸交BC于F，求出點B、點C的坐標，用待定系數法求出直線BC的解析式，表示出DF的長，利用平行線分線段成比例定理列出關于的函數關系式，利用二次函數的性質即可求出結論；

（3）設M(x1，kx1＋b)、N(x2，kx2＋b)，聯立一次函數與二次函數關系式，整理可得x1＋x2＝2＋k－m，x1x2＝－2m－b. 過點M作MK⊥x軸于K，過點Q作QL⊥x軸于L，由△MKA∽△QLH，列比利式整理可得(km－b)(n－2)＝0，然后分兩種情況討論可得點Q的橫坐標．

(1) y＝x2＋(m－2)x－2m＝(x＋m)(x－2)，

令y＝0，則(x＋m)(x－2)＝0，解得x1＝－m，x2＝2，

∴A(－m，0)、B(2，0)，

令x＝0，則y＝－2m，

∴C(0，－2m)，

∴AB＝2＋m，OC＝2m.

∵S△ABC＝×(2＋m)×2m＝8，

解得m1＝2，m2＝－4，

∵m＞0，

∴m＝2；

(2) 過點D作DF∥y軸交BC于F，

由(1)可知：m＝2，

∴拋物線的解析式為y＝x2－4，

∴B(2，0)、C(0，－4)，

∴直線BC的解析式為y＝2x－4.

設D(t，t2－4)，則F(t，2t－4)，

∴DF＝2t－4－(t2－4)＝－t2＋2t，OC＝4，

∵DF∥y軸，

∴＝＝＝－(t－1)2＋，

當t＝1時，有最大值為，此時D(1，3)；

(3) 設M(x1，kx1＋b)、N(x2，kx2＋b)，

聯立，整理得x2＋(m－2－k)x－2m－b＝0，

∴x1＋x2＝2＋k－m，x1x2＝－2m－b，

設點Q的橫坐標為n，則Q(n，kn＋b)，

過點M作MK⊥x軸于K，過點Q作QL⊥x軸于L，

∵MA∥PH，

∴△MKA∽△QLH，

∴＝，

即，整理得kx1x2＋b(x1＋x2)＋kmn＋bm－bn＝0，

∴k(－2m－b)＋b(2＋k－m)＋kmn＋bm－bn＝0，

∴(km－b)(n－2)＝0，

②km－b＝0，此時直線為y＝k(x＋m)，過點A(－m，0)，不符合題意，

②當n－2＝0，此時n＝2，Q點的橫坐標為2.