Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，將線段AB平移至線段CD，連接AC、BD．

（1）已知A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，且三角形ACO的面積是6，求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；

（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一定點(diǎn)M（1，0），兩個(gè)動點(diǎn)E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）．

①請你探索是否存在以兩個(gè)動點(diǎn)E、F為端點(diǎn)的線段EF平行于線段OM且等于線段OM，若存在，求出點(diǎn)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)E、F重合時(shí)，將該重合點(diǎn)記為點(diǎn)P，另當(dāng)過點(diǎn)E、F的直線平行于x軸時(shí)，是否存在△PEF的面積為2？若存在，求出點(diǎn)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）；（2）①點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，3），F的坐標(biāo)為（0，3）或點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1），F的坐標(biāo)為（1，1）；②存在△PEF的面積為2，點(diǎn)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)為E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，4）．

【解析】

（1）由點(diǎn)A和點(diǎn)C在y軸上確定出向右平移3個(gè)單位，再根據(jù)△ACD的面積求出向上平移的單位，然后寫出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)即可．

（2）①根據(jù)線段EF平行于線段OM且等于線段OM，得出2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝1，解答即可；

②首先根據(jù)題意求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2），設(shè)點(diǎn)E在F的左邊，由EF∥x軸得出a+b＝1，求出△PEF的面積＝（b﹣a）×|2a+1﹣2|＝2，得出（b﹣a）|2a﹣1|＝4，當(dāng)EF在點(diǎn)P的上方時(shí)，（b﹣a）（2a﹣1）＝4，與a+b＝1聯(lián)立得：，此方程組無解；當(dāng)EF在點(diǎn)P的下方時(shí)，（b﹣a）（1﹣2a）＝4，與a+b＝1聯(lián)立得：，解得：，或；分別代入點(diǎn)E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）即可．

解：（1）∵A（﹣3，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，

∴向右平移3個(gè)單位，

設(shè)向上平移x個(gè)單位，

∵S△ACO＝OA×OC＝6，

∴×3x＝6，

解得：x＝4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），

﹣2+3＝1，﹣2+4＝2，

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）．

（2）①存在；理由如下：

∵線段EF平行于線段OM且等于線段OM，

∴2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝1，

解得：a＝1，b＝0或a＝0，b＝1，

即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，3），F的坐標(biāo)為（0，3）或點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1），F的坐標(biāo)為（1，1）；

②存在，理由如下：如圖2所示：

當(dāng)點(diǎn)E、F重合時(shí)，，

解得：，

∴2a+1＝2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2），

設(shè)點(diǎn)E在F的左邊，

∵EF∥x軸，

∴2a+1＝﹣2b+3，

∴a+b＝1，

∵△PEF的面積＝（b﹣a）×|2a+1﹣2|＝2，

即（b﹣a）|2a﹣1|＝4，

當(dāng)EF在點(diǎn)P的上方時(shí)，（b﹣a）（2a﹣1）＝4，與a+b＝1聯(lián)立得：，此方程組無解；

當(dāng)EF在點(diǎn)P的下方時(shí)，（b﹣a）（1﹣2a）＝4，與a+＝1聯(lián)立得：，

解得：，或；

分別代入點(diǎn)E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）得：E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，4）；

綜上所述，存在△PEF的面積為2，點(diǎn)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)為E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，4）．