Question

【題目】已知，如圖，在平面直角坐標系中，的斜邊BC在x軸上，直角頂點A在y軸的正半軸上，，.

(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式和對稱軸；

(2)設點是拋物線在第一象限部分上的點，的面積為S，求S關于m的函數關系式，并求使S最大時點P的坐標；

(3)在拋物線對稱軸上，是否存在這樣的點M，使得為等腰三角形(P為上述(2)問中使S最大時的點)？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由；

(4)設點M是直線AC上的動點，試問：在平面直角坐標系中，是否存在位于直線AC下方的點N，使得以點O、A、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=；對稱軸為x=；(2)S=-(m-2)2+4，點P的坐標為(2，3)；(3)點M的坐標為(，)或(，)或(，)或(，)或(，)時，△MPC為等腰三角形；(4)點N的坐標為(，)或(，)或(-2，1)．

【解析】

（1）由同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，得到三角形AOB與三角形AOC相似，由相似得比例，求出OC的長，確定出C坐標，由B與C坐標設出拋物線的交點式解析式，將A坐標代入求出a的值，確定出拋物線解析式，求出對稱軸即可；

（2）連接AP，CP，過P作PQ垂直于x軸，將x=m代入拋物線解析式表示出P的縱坐標，即為PQ的長，三角形APC面積=梯形APQO面積+三角形PQC面積-三角形AOC面積，列出S關于m的二次函數解析式，利用二次函數的性質求出S最大時m的值，即可確定出此時P的坐標；

（3）分點M是頂點、點C是頂點、點P是頂點三種情況分別討論即可；

（4）分為邊、為對角線分別進行討論即可.

(1)∵A(0，2)，B(-1，0)，

∴OA=2，OB=1，

∵∠AOB=∠AOC=∠BAC=90°，

∴∠ABO+∠BAO=90°，∠BAO+∠OAC=90°，

∴∠ABO=∠CAO，

∴△AOB∽△COA，

∴，即，解得，

∴點的坐標為，

設過、、三點的拋物線的解析式為，

將代入，得，解得，

∴過、、三點的拋物線的解析式為，即，

∵，

∴拋物線的對稱軸為；

(2)過點作軸的垂線，垂足為點，

∵點在上，

∴，

∴ ，

，

，

∴

，

∵，

∴當時，最大，

當時，，

∴點的坐標為；

(3)存在．

設點，

∵，，

∴，

，

.

分三種情況討論：

①當點是頂點時，，即，解得，．

∴，

②當點是頂點時，，即，解得，．

∴，，

③當點是頂點時，，即，解得，．

∴，，

綜上所述，當點的坐標為或或或或時，為等腰三角形．

(4)當為邊時，，，

若在右側時，則點的坐標為；

若在左側時，則點的坐標為，

當為對角線時，垂直平分，則點的縱坐標為1，

把代入得，

∴，

∴，

綜上所述，當點N的坐標為(，)或(，)或(-2，1)．