Question

【題目】在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=，AP=1．將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點E，F，連接EF（如圖）．

（1）當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖），則PC的長為 ；

（2）將直角尺從如圖中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當點E和點A重合時停止．在這個過程中，從開始到停止，線段EF的中點所經(jīng)過的路徑（線段）長為 ．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）

【解析】

（1）如圖2，先利用勾股定理計算出PB=2，再證明△APB∽△DCP，然后利用相似比可計算出PC；

（2）設線段EF的中點為O，連接OP，OB，如圖1，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得OP=OB=EF，則利用線段垂直平分線定理的逆定理可得O點在線段BP的垂直平分線上，再確定旋轉(zhuǎn)開始和停止時EF的中點位置，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)確定線段EF的中點所經(jīng)過的路徑（線段）長．

（1）如圖2，

在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∵AP=1，AB=，

∴PB==2，

∵∠ABP+∠APB=90°，∠BPC=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∴∠ABP=∠DPC，

∴△APB∽△DCP，

∴AP：CD=PB：CP，即1：=2：PC，

∴PC=2，

（2）設線段EF的中點為O，連接OP，OB，如圖1，

在Rt△EPF中，OP=EF，

在Rt△EBF中，OB=EF，

∴OP=OB，

∴O點在線段BP的垂直平分線上，

如圖2，當點E與點B重合時，點F與點C重合時，EF的中點為BC的中點O，

當點E與點，A重合時，EF的中點為PB的中點O，

∴OO′為△PBC的中位線，

∴OO′=PC=，

∴線段EF的中點經(jīng)過的路線長為．