Question

【題目】在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC=+1，P 是△ABC 內一個動點，PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC，垂足分別為 D、E、F，且 PD+PE=PF．則點 P 運動所形成的圖形的長度是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】如圖，過點P作MN∥BC，交AB于點M，交BC于點N，由PD⊥AB、PE⊥AC、∠A=90°，可得四邊形AEPD為矩形，所以DP=AE；由∠A=90°，AB=AC=+1，可得∠C=45°，再由MN∥BC，PE⊥AC可得△PEN為等腰直角三角形，所以PE=EN；又因PD+PE=PF，可得PF=AE+EN=AN；過點N作NG⊥BC與點G，可得PF=EG，△CGN為等腰直角三角形，設PF=EG=x，可得NG=x，因為AC=+1，所以AN+NG=x+x=+1，解得x=1；由此可得當PD+PE=PF時，點 P 運動所形成的圖形是線段MN，根據勾股定理可求得MN的長度為.