Question

【題目】（問題）
如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點C作直線l平行于AB．∠EDF=90°，點D在直線l上移動，角的一邊DE始終經過點B，另一邊DF與AC交于點P，研究DP和DB的數量關系．

（探究發現）
（1）如圖2，某數學興趣小組運用“從特殊到一般”的數學思想，發現當點D移動到使點P與點C重合時，通過推理就可以得到DP=DB，請寫出證明過程；
（數學思考）
（2）如圖3，若點P是AC上的任意一點（不含端點A、C），受（1）的啟發，這個小組過點D作DG⊥CD交BC于點G，就可以證明DP=DB，請完成證明過程；
（拓展引申）
（3）如圖4，在（1）的條件下，M是AB邊上任意一點（不含端點A、B），N是射線BD上一點，且AM=BN，連接MN與BC交于點Q，這個數學興趣小組經過多次取M點反復進行實驗，發現點M在某一位置時BQ的值最大．若AC=BC=4，請你直接寫出BQ的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2．

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質可得∠CAB=∠CBA=45°，由平行線的性質可得∠CBA=∠DCB=45°，即可證DB=DP；
【數學思考】
（2）通過證明△CDP≌△GDB，可得DP=DB
【拓展引申】
（3）過點M作MH⊥MN交AC于點H，通過證明△AMH≌△BNQ，可得AH=BQ，通過證明△ACM∽△BMQ，可得，可得BQ=+2，由二次函數的性質可求BQ的最大值．

（1）∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠CAB=∠CBA=45°
∵CD∥AB
∴∠CBA=∠DCB=45°，且BD⊥CD
∴∠DCB=∠DBC=45°
∴DB=DC
即DB=DP
【數學思考】
（2）∵DG⊥CD，∠DCB=45°
∴∠DCG=∠DGC=45°
∴DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，
∵∠BDP=∠CDG=90°
∴∠CDP=∠BDG，且DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，
∴△CDP≌△GDB（ASA）
∴DB=DP
【拓展引申】
（3）如圖4，過點M作MH⊥MN交AC于點H，連接CM，HQ，

∵MH⊥MN，
∴∠AMH+∠NMB=90°
∵CD∥AB，∠CDB=90°
∴∠DBM=90°
∴∠NMB+∠MNB=90°
∴∠HMA=∠MNB，且AM=BN，∠CAB=∠CBN=45°
∴△AMH≌△BNQ（ASA）
∴AH=BQ
∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=4，AC-AH=BC-BQ
∴CH=CQ
∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB
∴HQ∥AB
∴∠HQM=∠QMB
∵∠ACB=∠HMQ=90°
∴點H，點M，點Q，點C四點共圓，
∴∠HCM=∠HQM
∴∠HCM=∠QMB，且∠A=∠CBA=45°
∴△ACM∽△BMQ
∴
∴
∴BQ=+2
∴AM=2時，BQ有最大值為2．