Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D，E分別在邊BC，AC上，且CD=CE，連接DE并延長至點F，使EF=AE，連接AF，CF，連接BE并延長交CF于點G．下列結論：
①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF；④若BD=2DC，則GF=2EG．其中正確的結論是 ． （填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：①正確．∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，

∵DE=DC，

∴△DEC是等邊三角形，

∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°，

∵EF=AE，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AF=AE，∠EAF=60°，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF，故①正確．

②正確．∵∠ABC=∠FDC，

∴AB∥DF，

∵∠EAF=∠ACB=60°，

∴AB∥AF，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，

∴DF=AB=BC，故②正確．

③正確．∵△ABE≌△ACF，

∴BE=CF，S△ABE=S△AFC，

在△BCE和△FDC中，

，

∴△BCE≌△FDC，

∴S△BCE=S△FDC，

∴S△ABC=S△ABE+S△BCE=S△ACF+S△DCF，故③正確．

④正確．∵△BCE≌△FDC，

∴∠DBE=∠EFG，∵∠BED=∠FEG，

∴△BDE∽△FGE，

∴ = ，

∴ = ，

∵BD=2DC，DC=DE，

∴ =2，

∴FG=2EG．故④正確．

【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質和平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．