Question

【題目】如圖，已知P點是∠AOB平分線上一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足為C、D．

（1）求證：∠PCD＝∠PDC；

（2）求證：OP是線段CD的垂直平分線.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由角平分線的性質可得PC=PD，即可證明∠PCD＝∠PDC；（2）先證明△OCP≌△ODP，由此可得OC＝OD，進而證明點O在CD的垂直平分線上，由（1）PC=PD可得點P也在CD的垂直平分線上，所以OP是線段CD的垂直平分線.

試題解析：

（1）∵OP是∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC＝PD，

∴∠PCD＝∠PDC；

（2）∵OP是∠AOB的角平分線，

∴∠COP＝∠DOP，

∵PC⊥OA，PD⊥OB，

∴∠OCP＝∠ODP＝90°，

在△OCP和△ODP中，

，

∴△OCP≌△ODP（AAS），

∴OC＝OD，

∴點O在CD的垂直平分線上，

∵PC＝PD，

∴點P在CD的垂直平分線上，

∴OP是CD的垂直平分線.