Question

【題目】（1）問題探究：如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點，AE是∠BAD的平分線，則線段AB，AD，DC之間的等量關系為　 　；

（2）方法遷移：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點F，E是BC的中點，AE是∠BAF的平分線，試探究線段AB，AF，CF之間的等量關系，并證明你的結論；

（3）聯想拓展：如圖③，AB∥CF，E是BC的中點，點D在線段AE上，∠EDF＝∠BAE，試探究線段AB，DF，CF之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）AD＝AB+DC；（2）AB＝AF+CF，證明詳見解析；（3）AB＝DF+CF，證明詳見解析．

【解析】

（1）結論：AD＝AB+DC．延長AE，DC交于點F，證明△ABE≌△FEC（AAS），即可推出AB＝CF，再證明DA＝DF，即可解決問題．

（2）結論：AB＝AF+CF，如圖②，延長AE交DF的延長線于點G，證明方法類似（1）．

（3）結論；AB＝DF+CF．如圖③，延長AE交CF的延長線于點G，證明方法類似（1）．

解：（1）探究問題：結論：AD＝AB+DC．

理由：如圖①中，延長AE，DC交于點F，

∵AB∥CD，

∴∠BAF＝∠F，

在△ABE和△FCE中，

CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，

∴△ABE≌△FEC（AAS），

∴CF＝AB，

∵AE是∠BAD的平分線，

∴∠BAF＝∠FAD，

∴∠FAD＝∠F，

∴AD＝DF，

∵DC+CF＝DF，

∴DC+AB＝AD．

故答案為AD＝AB+DC．

（2）方法遷移：結論：AB＝AF+CF．

證明：如圖②，延長AE交DF的延長線于點G，

∵E是BC的中點，

∴CE＝BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC

∴△AEB≌△GEC（AAS）

∴AB＝GC

∵AE是∠BAF的平分線

∴∠BAG＝∠FAG，

∵∠BAG∠G，

∴∠FAG＝∠G，

∴FA＝FG，

∵CG＝CF+FG，

∴AB＝AF+CF．

（3）聯想拓展：結論；AB＝DF+CF．

證明：如圖③，延長AE交CF的延長線于點G，

∵E是BC的中點，

∴CE＝BE，

∵AB∥CF，

∴∠BAE＝∠G，

在△AEB和△GEC中，

，

∴△AEB≌△GEC，

∴AB＝GC，

∵∠EDF＝∠BAE，

∴∠FDG＝∠G，

∴FD＝FG，

∴AB＝DF+CF．